「Codeforces 1100C」NN and the Optical Illusion 题解

题目

题意

• 一个半径为\(r\)的圆，与\(n\)个半径为\(R\)的圆相切且这\(n\)个圆分别和左右的两个圆相切
• 已知\(n, r\),求\(R\)

思路

将外圈圆的圆心相连, 围成一个正\(n\)边形 - 从多边形截出一个\(\triangle BGA\) - \(\angle BGA=\frac{\angle BGF}{2}=\frac{180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}}{2}\) - 做\(\triangle BGA \space BG\)边上的高\(AH\) - 得到\(Rt\triangle GHA,GH=R,GA=R+r\) - \(\frac{GA}{GH}=\frac{R+r}{R}=\sec\angle BGA\) - \(R\cdot \sec\angle BGA=R+r\) - \(R\cdot(\sec\angle BGA-1)=r\) - \(R=\frac{r}{\sec\angle BGA-1}=\frac{r}{\sec(\frac{180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}}{2})-1}\)

注意事项

1. cmath里没有\(\sec\)，可以用\(\cos\)的倒数嘛
2. cmath里面的所有三角函数都是弧度制，要将角度\(\times\pi\div180\)

备注

绘图工具:GeoGebra Geometry ## 代码(C++)

int n;
double r;
read(n);
std::cin >> r;
double degree = 180 - (360.0 / n);
degree /= 2;
degree = degree / 180 * PI;
double ans=r / (1 / cos(degree) - 1);
std::cout.precision(7);
std::cout << std::fixed << ans << std::endl;